L’arithmétique romaine

Le système de numération romain est lourd et très mal approprié pour développer des mathématiques rigoureuses et complexes. Il est même inapproprié pour des opérations simples comme l’addition, la soustraction et les multiplications. Pourtant les romains les pratiquaient pour gérer toutes les complexités de leur empire. Comment faisaient-ils donc ?

Les origines probables des chiffres romains

Le système de numération romain est issu des anciens chiffres étrusques.  Il existe plusieurs théories sur la façon dont ce dernier aurait été conçu. L’une d’entre elles voudrait qu’il dérive des bâtons de comptage utilisés par les bergers. Selon celle-ci, ils auraient eu l’habitude de découper des encoches dans des bâtons. Il aurait ainsi symbolisé l’unité par une entaille devenant plus tard I, et chaque cinquième unité par une double coupe (Λ ou V), puis chaque dixième (X) par une coupe transversale… 

Une autre théorie voudrait qu’il s’agisse de représentation du système de comptage avec les mains : I, II, III, IIII correspondant à chacun des doigts mis en avant ; V représentant tous les doigts de la main tenus serrés et le pouce écarté. Les nombres 6 à 9 auraient été alors représentés en utilisant un V avec une main et I, II, III ou IIII de l’autre, tandis que 10 (X) aurait était indiqué en croisant les deux pouces tout en tenant droit les autres doigts des deux mains à la façon dont on représenterait aujourd’hui un oiseau.

Ce sont là bien sûr des hypothèses probablement loin de la vérité, mais pas forcément infondées. Il est également probable que nous ne connaîtrons jamais la véritable origine des nombres romains, en supposant que celle-ci soit unique.

Ce système numérique était toutefois défectueux à bien des égards et entre autre chose parce qu’il n’y avait pas de symbole pour le zéro … et pas de véritable méthode pour compter au-delà de plusieurs milliers, autre que l’addition de lignes autour des chiffres pour indiquer des multiples.  Cela est d’autant plus surprenant venant d’un peuple ayant eu tellement de regard pour les avancées technologiques. En effet, contrairement aux grecques, les romains ne se sont jamais intéressés aux mathématiques. Il n’y a eu aucune innovation dans ce domaine sous la république et l’empire. Ils n’eurent aucun mathématicien digne de mention, et les romains ont agi comme s’ils n’avaient pas besoin des mathématiques pures, mais seulement de leurs applications pratiques.

Néanmoins, cela n’a pas empêché leurs savants et leurs architectes de construire le plus grand empire que l’humanité ait connu relativement à la population mondiale. Des compétences mathématiques étaient donc nécessaires pour gérer une société et une économie complexes, ainsi que pour construire de vastes monuments comme le Colisée ou le réseau d’aqueducs sillonnant tout l’empire.

Comment les romains faisaient-ils donc pour réaliser des opérations simples ?

L’addition et la soustraction

La difficulté vient du fait que le système numérique romain n’est pas directement positionnel et ne comportait pas le zéro. C’était un système maladroit et inefficace pour des raisons arithmétiques et logiques évidentes. Il était basé sur des lettres de l’alphabet (I, V, X, L, C, D et M) qui se combinent pour signifier la somme de leurs valeurs (par exemple XII = X+II = 10 + 2 = 12).

What did the Romans ever do for maths? Very little
Abaque romain

À l’origine le système était additif dans le sens où 9 s’écrivait VIIII, plus tard et pour simplifier l’écriture il est devenu également soustractif, signifiant que 9 put alors s’écrire IX. Cela a certes simplifié un peu l’écriture, mais a rendu le calcul encore plus difficile, et exigeait la conversion de la notation soustractive en écriture additive au début de toute somme. En raison de la difficulté de cette arithmétique, les calculs étaient généralement effectués sur un abaque, dont les bouliers chinois peuvent nous donner aujourd’hui une représentation assez juste.

Mais comment s’y prendre à la main? Cela était faisable en reproduisant le processus employé sur les abaques. Imaginons la somme de 359+1029. Celle-ci s’écrit CCCLIX+MXXIX en chiffre romain. Les chiffres devaient alors être réécrits de façon additive comme sur un abaque ou un boulier, devenant ainsi CCLVIIII+MXXVIIII.

Il fallait ensuite poser l’opération et additionner colonne à colonne.

CCCLVIIII
+MXXVIIII
MCCCLXXVVIIIIIIIIII

L’ensemble devait alors être simplifié en partant de la droite. IIIIIIII (8) se réécrit VIII et l’on fait passer le V dans la colonne suivante à gauche, puis on répète l’opération. VVV (15) s’écrit XV où X passe dans la colonne de gauche… au total on trouve le chiffre MCCCLXXXVIII (1388). Le processus est rigoureux, mais fastidieux.

La soustraction s’effectuait de la même façon, mais avec encore plus de difficulté sans le zéro.

La multiplication : un exercice d’ingéniosité

La multiplication pourrait paraître impossible si l’ingéniosité humaine n’avait pas trouvé une solution. Les romains utilisaient une méthode permettant de la réduire à une série d’addition en utilisant uniquement des opérations simples comme le dédoublement ou la réduction approximative de moitié. Cette méthode est aujourd’hui connue sous le nom de la méthode russe.

Comment faisait-on ?

Écrivez les deux nombres à multiplier l’un à côté de l’autre ; puis doublez l’un et réduisez l’autre de moitié dans deux colonnes indépendantes. Contentez-vous d’écrire les nombres entiers sans les décimales. Répétez l’opération jusqu’à ce que le nombre dans la colonne de réduction soit égale à 1. Ensuite, dans la colonne de doublement, rayez tous les nombres qui se trouvent en face d’un nombre pair dans la colonne de réduction, et additionnez le reste des nombres dans la colonne de dédoublement ensemble. La somme est exactement le produit requis.

Par exemple 19 x 321=6099

19        321

9          642

4          1284

2          2568

1          5136

––––––––––––––

6099

Entre-temps on aura utilisé la méthode précédente pour faire de fastidieuses additions.

Quid alors de la division ? C’est une bonne question, mais pour laquelle il n’y a pas vraiment de réponse satisfaisante apportée à ce jour.

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